Rechnen in (bzw. ) — Teil 1

F: Wie rechnet man mit hyperreellen Zahlen? Die Rechengesetze der reellen Zahlen gelten auch bei den hyperreellen Zahlen weiter.
A: Das müssen sie auch, denn sonst wäre keine Erweiterung des reellen Zahlenkörpers. Wichtig ist, dass man mit den hyperreellen Zahlen tatsächlich im Unendlichen rechnen kann. Dies leisten die infiniten Zahlen, die einen unendlich großen Betrag haben, und die infinitesimalen Zahlen mit ihrem unendlich kleinen Betrag.
Du weißt, dass man die hyperreellen Zahlen mittels reeller Zahlenfolgen beschreibt. Und die Rechengesetze werden von nach übertragen, weil die Rechenoperationen gliedweise mit den Folgengliedern jeweils gleicher Nummer durchgeführt werden. Nehmen wir einmal die drei Beispielzahlen
7 = (7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7 ; ... ),
= (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ... ) und
= (0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; 0,0001 ; 0,00001 ; 0,000001 ; ... ) .
Wo würdest Du diese Zahlen auf der Zahlengeraden suchen?
F: Nun ja, bei 7 ist es klar. Weil es sich um eine konstante Folge handelt, ist dies die reelle Zahl Sieben. ist größer als jede reelle Zahl, denn bei jedem Vergleich mit irgendeiner reellen Zahl besitzt sie unendlich viele Folgenglieder, die größer sind, aber nur endlich viele, die kleiner sind. ist also eine infinite Zahl. Und ist eine infinitesimale Zahl, denn hier liefert ein Vergleich mit einer reellen Zahl, dass unendlich viele Folgenglieder von alpha kleiner ...
A: ... Auch beim Vergleich mit –8?
F: Ich war ungenau. Um festzustellen, von welchem Typ eine hyperreelle Zahl ist, muss man ihren Betrag betrachten. ist also deswegen infinitesimal, weil bei jedem Vergleich mit einer reellen Zahl die Beträge unendlich vieler Folgenglieder von kleiner sind, aber höchstens endlich viele betragsmäßig größer. Diese Begründung trifft auch beim Vergleich zum Beispiel mit -0,00024 zu.
A: Nun addiere jeweils zwei von ihnen und gib die Summenfolgen an.
F: Das ist einfach. Die Addition ergibt die Zahlenfolge (8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; ... ) , bei erhält man (7,1 ; 7,01 ; 7,001 ; 7,0001 ; 7,00001 ; 7,000001 ; ... ) , und führt auf (1,1 ; 2,01 ; 3,001 ; 4,0001 ; 5,00001 ; 6,000001 ; ... ) .
A: Kannst Du auch von diesen Summenzahlen sagen, wo sie auf der Zahlengeraden zu finden sind?
F: ist infinit, und ist es ebenfalls. Bei kann ich zumindest sagen, dass diese Summe nicht infinit ist. Sie ist aber auch nicht infinitesimal. Und reell kann sie ebenfalls nicht sein, denn die sie beschreibende Folge ist nicht konstant.
A: Das hast Du richtig erkannt. Betrachten wir etwas genauer. Zahlen dieses Typs nennt man finit, also das Gegenteil von infinit. Diese Zahl unterscheidet sich aber von der Zahl 7 nur infinitesimal. Deswegen sagt man auch, ist infinitesimal benachbart zur 7.
F: Wenn ich zwei reelle Zahlen vergleiche, kann ich immer sagen, ob sie gleich sind oder welche von beiden die größere ist. Bei den drei Zahlen 7, und fällt der Vergleich auch nicht schwer, weil jede einem anderen Zahltyp angehört. Wie kann ich denn bei zwei infiniten oder zwei infinitesimalen Zahlen entscheiden, welche die größere ist oder ob sie gleich sind?
A: Dazu braucht man jeweils Folgen, die die zu vergleichenden Zahlen beschreiben. Ordne doch bitte die folgenden vier Zahlen , , und (Gamma, Delta, Lambda und Omega) der Größe nach, beginnend mit der kleinsten Zahl:

= (10,0 ; 10,5 ; 11,0 ; 11,5 ; 12,0 ; 12,5 ; ... ) ,
= (0,5 ; 1,0 ; 1,5 ; 2,0 ; 2,5 ; 3,0 ; ... ) ,
= (1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; ... ) .
= (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ... ) ,

F: Einen Moment bitte, ich muss überlegen..... Hier ist die Lösung:

Es ist < < < .

A: Dein Ergebnis ist richtig, aber Du solltest es auch begründen. Erläutere bitte, wie Du es herausgefunden hast.
F: Ich muss eine Gesetzmäßigkeit herausfinden, wie die Folgen vermutlich weitergehen, welche Folgenglieder also die nächsten sind, denn die hier aufgeführten Folgenglieder täuschen.
A: Das stimmt. Normalerweise gibt man für Folgen auch diese Gesetzmäßigkeit an und erfasst damit sämtliche Folgenglieder auf einmal, nicht nur die ersten. Darauf will ich aber an dieser Stelle nicht weiter eingehen. Nun, wie hast Du die richtige Anordnung der vier infiniten Zahlen herausgefunden?
F: Nun ja, ist die kleinste Zahl, denn zum einen sind die Folgenglieder im Vergleich bei jeder Nummer am kleinsten, und außerdem wachsen diese Folgenglieder offensichtlich in 0,5er-Schritten an. Letzteres gilt auch für . Zwar sind alle aufgeführten Folgenglieder mit gleicher Nummer jeweils die größten, weil aber jedes Folgenglied immer nur um 0,5 größer ist als sein Vorgänger, „überholen” die Folgenglieder von und die Folgenglieder von . Also sind nur endlich viele Folgenglieder von größer, aber unendlich viele Folgenglieder kleiner. Demzufolge ist < und < .
Mit derselben Überlegung ist schließlich < .
A: Völlig richtig. Dann kannst Du sicherlich auch die folgenden vier Infinitesimalzahlen richtig anordnen.

,
,
,
.

F: Nun ja, mit ähnlichen Überlegungen erhalte ich ....

> > >

A: Das stimmt auch.
Solche Untersuchungen sind aber für die Analysis nicht wichtig. Im Grunde genügt es zu wissen, ob ein hyperreeller Term finit, infinit oder infinitesimal ist. Denn weil wir Analysis der reellen Funktionen betreiben, wird am Ende immer der reelle Teil des Terms gebildet.

Diese grundsätzlichen Überlegungen werden wir im zweiten Teil des Tutorials über das Rechnen in besprechen.