Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 bis 1716)

Gottfried Wilhelm Leibniz wurde am Sonntag, dem 21. Juni 1646 damaliger Zeitrechnung in Leipzig geboren. Allgemein gilt heute der 1. Juli 1646 als Leibniz' Geburtstag, denn der heute gültige Gregorianische Kalender wurde in Sachsen erst 1699 eingeführt. Leibniz gilt als einer der letzten Universalgelehrten, denn er hat u.A. wichtige Beiträge zur Philosophie, dem Rechtswesen und der Mathematik geliefert. Hier soll sein Wirken für die Mathematik im Vordergrund stehen.

Er und Isaac Newton entwickelten etwa gleichzeitig, aber unabhängig voneinander, die Infinitesimalmathematik. In Leibniz' Forschung stand zunächst das Tangentenproblem im Vordergrund. Er stellte sich eine Kurve als Streckenzug vor, dessen Ecken unendlich dicht benachbart seien. Aus den Abweichungen dx und dy zweier benachbarter Eckpunkte in x- bzw. y-Richtung ließe sich dann die Steigung berechnen.
Benachbarte Punkte einer Parabel mit der Gleichung y=x² hätten dann z. B. die Koordinaten (x ; x²) und (x+dx ; (x+dx)²). Für die Abweichung dy erhielte man dann (x+dx)² - x², woraus sich für die Steigung zwischen diesen Punkten nach wenigen Umformungen dy/dx = 2x + dx ergibt.

Nach Leibniz ist dx auf der rechten Seite nun zu vernachlässigen, so dass für die Tangentensteigung schließlich 2x übrigbleibt. Auch wenn es zu richtigen Ergebnissen führte, hat dieses Vorgehen Leibniz viel Kritik eingetragen, denn verschwinden kann eine Größe nur, wenn sie gleich null ist, jedoch darf dann zuvor nicht durch diese Größe dividiert worden sein. Leibniz, der sich auf seine Intuition verlassen hatte, war nicht in der Lage, diesen Widerspruch aufzulösen. Gleichwohl hat sich sein Formalismus, bei der Bezeichnung winziger Unterschiede ein "d" (für lat.: differentia = Unterschied) zu verwenden, bewährt und bis heute erhalten.

Leibniz entwickelte auch die Grundlagen der Integralrechnung. Auch hier ist der von ihm entwickelte Formalismus mit dem Integralzeichen als stilisiertem "S" heute noch Standard. Seine Wahl dieses Symbols kommt daher, dass er den Flächeninhalt unter einer Kurve herausfand, indem er aus lauter Rechteckflächen die Summen bildete. Auch wenn diese Rechtecke unendlich schmal waren und er somit unendlich viele benötigte, enthielt sein Ergebnis einen Fehler, der aber wiederum vernachlässigbar war. Dieses Verfahren nannte er "integrieren" (lat.: integrare = wiederherstellen).

Die Wortwahl geschah nicht ohne Grund, denn er konnte mit der Flächenberechnung die Kurve, von der er zuvor die Tangentensteigungen ermittelt hatte, wiederherstellen. Steigungsberechung und anschließende Flächenberechnung hoben sich also gegenseitig auf, was auch stimmt, wenn man die Reihenfolge umkehrt. Heute nennt man diesen Zusammenhang den Hauptsatz der Analysis, bereits Leibniz hatte ihn also gefunden.

Gottfried Wilhelm Leibniz starb am 14 November 1716 in Hannover. Er wurde in der Neustädter Kirche beigesetzt, wo sein Grab noch heute besichtigt werden kann.

Die Infinitesimalzahlen, mit denen Leibniz intuitiv rechnete und zu richtigen Ergebnissen kam, wurden erst in den sechziger Jahren des zwanzigsten Jahrhunderts von Robinson widerspruchsfrei in das Gedankengebäude der Mathematik eingefügt. Die Division zweier infinitesimaler Zahlen (dy⁄dx) kann auf ein finites, nicht infinitesimales Ergebnis (2x + dx) führen, das sich nur infinitesimal von einer reellen Zahl (2x) unterscheidet. Nimmt man diese infinitesimale Abweichung weg, hat man die gesuchte Steigung 2x. Bildet man Kehrwerte infinitesimaler Zahlen, so erhält man infinite Zahlen, die also größer als jede reelle Zahl sind. Unter ihnen gibt es solche, die die Eigenschaften natürlicher Zahlen besitzen, mit denen also gezählt werden kann. Mit ihnen kann man bei der Flächenberechnung die infinitesimal schmalen Rechtecke "durchnummerieren" und den gesamten Flächeninhalt berechnen.