Geschichtliches zur Analysis

Archimedes wird häufig - zu Recht - als Urvater der Integralrechnung bezeichnet, denn die in vielen Schulbüchern so genannte "Streifenmethode" zur Berechnung bestimmter Integrale geht auf seine Ideen zurück. Allerdings gibt die weitere Darstellung dazu in vielen Schulbüchern Archimedes' Gedanken nicht richtig wieder, denn weder der Funktions- noch der Grenzwertbegriff existierten damals.
Der Artikel über Archimedes macht nachvollziehbar, wie er wirklich gedacht hat. Weiterhin wird darin seine Herleitung des Kugelvolumens dargestellt - ein Beispiel, wie mit seiner "Methode" Resultate gefunden (also errechnet) werden können (und nicht mühsam erst erraten und dann bewiesen werden müssen).

Leibniz und Newton gelten - ausgehend von unterschiedlichen Fragestellungen - als Begründer der Analysis, also der Differenzial- und Integralrechnung, obwohl einzelne dazu gehörige Gedanken schon vorher formuliert worden waren. Beide verwendeten dabei infinitesimale Größen, also solche, die betragsmäßig kleiner als jede positive reelle Zahl, aber nicht null sind, ohne diese präzise definieren zu können. Da sie - wie auch der schweizer Mathematiker Euler - sicher im Umgang mit diesen Größen waren, ergaben sich bei ihnen keine Widersprüche - bei Anderen aber schon. Es gelang damals nicht, infinitesimale und infinite Größen mathematisch sauber zu definieren. Daher wurde später der Grenzwertformalismus erfunden, um die in der Analysis verwendeten Begriffe auf eine präzise Grundlage zu stellen. So haben viele Schülergenerationen seitdem mehr oder weniger mühsam diese "Standard-Analysis" lernen müssen.

Leibniz ging von dem "Tangentenproblem" aus: Wie kann man rein rechnerisch anhand des Funktionsterms bestimmen, welchen (lokalen) Anstieg ein Funktionsgraph in einem bestimmten Punkt des Graphen hat? Newton wollte die Bewegung eines Körpers in einem bestimmten "Moment" seiner Bewegung berechnen können. Da sie gelegentlich korrespondiert haben und Newton seine Arbeiten oft ohne Veröffentlichung in der Schublade liegen ließ, entstand über die Urheberschaft ein schwerer Prioritätenstreit. Nach heutiger Ansicht haben beide unabhängig voneinander dieselbe Mathematik entwickelt.
Der Artikel über Leibniz gibt seine Grundgedanken und viele Schreibweisen wieder, die bis heute verwendet werden. Der Artikel über Newton stellt die Grundgedanken seiner "Fluxionsrechnung" dar.

Euler war ein extrem produktiver schweizer Mathematiker, der zu vielen Gebieten der Mathematik und Physik (und anderen) Wesentliches beigetragen hat. Viele heute in der Mathematik verwendete Symbole gehen auf ihn zurück. In seinem 1748 publizierten Grundlagenwerk "Introductio in analysin infinitorum" spielt zum ersten Mal der Begriff der Funktion eine zentrale Rolle. In der Schule verbindet man seinen Namen wohl in erster Linie mit der heute nach ihm benannten Zahl e und der damit verbundenen e-Funktion.
Der Artikel über Euler stellt in verkürzter Fassung seine Herleitung der Zahl e dar, die er übrigens (ohne Differenzialrechnung) unter Verwendung infiniter Zahlen gefunden hat.

Abraham Robinson schließlich ist auf der Basis von Prädikatenlogik der Nachweis gelungen, dass die Menge der reellen Zahlen mit (betragsmäßig) unendlich großen und unendlich kleinen Zahlen erweitert werden kann und dabei die Körperstruktur erhalten bleibt. Dass es auch einen konstruktiven Zugang zu diesen Zahlen gibt, nämlich über Ultrafilter, wies schließlich Wilhelmus Luxemburg nach. Solch einen konstruktiven Zugang zu hyperreellen Zahlen beschrieb erstmals Ton Lindstrøm, nachzulesen zum Beispiel hier:
de.wikipedia.org.