Rechnen in (bzw. ) — Teil 1

F: Wie rechnet man mit hyperreellen Zahlen? Die Rechengesetze der reellen Zahlen gelten auch bei den hyperreellen Zahlen weiter.
A: Das müssen sie auch, denn sonst wäre keine Erweiterung des reellen Zahlenkörpers. Wichtig ist, dass man mit den hyperreellen Zahlen tatsächlich im Unendlichen rechnen kann. Dies leisten die infiniten Zahlen, die einen unendlich großen Betrag haben, und die infinitesimalen Zahlen mit ihrem unendlich kleinen Betrag.
Du weißt, dass man die hyperreellen Zahlen mittels reeller Zahlenfolgen beschreibt. Und die Rechengesetze werden von nach übertragen, weil die Rechenoperationen gliedweise mit den Folgengliedern jeweils gleicher Nummer durchgeführt werden. Nehmen wir einmal die drei Beispielzahlen
7 = (7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7 ; ... ),
= (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ... ) und
= (0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; 0,0001 ; 0,00001 ; 0,000001 ; ... ) .
Wo würdest Du diese Zahlen auf der Zahlengeraden suchen?
F: Nun ja, bei 7 ist es klar. Weil es sich um eine konstante Folge handelt, ist dies die reelle Zahl Sieben. ist größer als jede reelle Zahl, denn bei jedem Vergleich mit irgendeiner reellen Zahl besitzt sie unendlich viele Folgenglieder, die größer sind, aber nur endlich viele, die kleiner sind. ist also eine infinite Zahl. Und ist eine infinitesimale Zahl, denn hier liefert ein Vergleich mit einer reellen Zahl, dass unendlich viele Folgenglieder von kleiner ...
A: ... Auch beim Vergleich mit –8?
F: Ich war ungenau. Um festzustellen, von welchem Typ eine hyperreelle Zahl ist, muss man ihren Betrag betrachten. ist also deswegen infinitesimal, weil bei jedem Vergleich mit einer reellen Zahl die Beträge unendlich vieler Folgenglieder von kleiner sind, aber höchstens endlich viele betragsmäßig größer. Diese Begründung trifft auch beim Vergleich zum Beispiel mit -0,00024 zu.
A: Nun addiere jeweils zwei von ihnen und gib die Summenfolgen an.
F: Das ist einfach. Die Addition ergibt die Zahlenfolge (8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; ... ) , bei erhält man (7,1 ; 7,01 ; 7,001 ; 7,0001 ; 7,00001 ; 7,000001 ; ... ) , und führt auf (1,1 ; 2,01 ; 3,001 ; 4,0001 ; 5,00001 ; 6,000001 ; ... ) .
A: Kannst Du auch von diesen Summenzahlen sagen, wo sie auf der Zahlengeraden zu finden sind?
F: ist infinit, und ist es ebenfalls. Bei kann ich zumindest sagen, dass diese Summe nicht infinit ist. Sie ist aber auch nicht infinitesimal. Und reell kann sie ebenfalls nicht sein, denn die sie beschreibende Folge ist nicht konstant.
A: Das hast Du richtig erkannt. Betrachten wir etwas genauer. Zahlen dieses Typs nennt man finit, also das Gegenteil von infinit. Diese Zahl unterscheidet sich aber von der Zahl 7 nur infinitesimal. Deswegen sagt man auch, ist infinitesimal benachbart zur 7.
F: Wenn ich zwei reelle Zahlen vergleiche, kann ich immer sagen, ob sie gleich sind oder welche von beiden die größere ist. Bei den drei Zahlen 7, und fällt der Vergleich auch nicht schwer, weil jede einem anderen Zahltyp angehört. Wie kann ich denn bei zwei infiniten oder zwei infinitesimalen Zahlen entscheiden, welche die größere ist oder ob sie gleich sind?
A: Dazu braucht man jeweils Folgen, die die zu vergleichenden Zahlen beschreiben. Ordne doch bitte die folgenden vier Zahlen , , und (Gamma, Delta, Lambda und Omega) der Größe nach, beginnend mit der kleinsten Zahl:

= (10,0 ; 10,5 ; 11,0 ; 11,5 ; 12,0 ; 12,5 ; ... ) ,
= (0,5 ; 1,0 ; 1,5 ; 2,0 ; 2,5 ; 3,0 ; ... ) ,
= (1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; ... ) .
= (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ... ) ,

F: Einen Moment bitte, ich muss überlegen..... Hier ist die Lösung:

Lösung: