FAQ - Frequently Asked Questions

Das Unendliche

Es gibt zwei Arten von Unendlich. Was ist der Unterschied?

Man spricht einerseits von potentiell unendlich und andererseits von aktual unendlich. Zum Beispiel ist die Menge potentiell unendlich, weil man zu immer größeren Zahlen fortschreiten kann, ohne jemals an ein Ende zu kommen. Allerdings ist jede konkrete reelle Zahl endlich. Sollte jemand behaupten, es gäbe eine unendlich große reelle Zahl, dann wird er diese nicht konkret angeben können.
Eine aktual unendliche Zahl ist dagegen echt unendlich groß, also größer als jede reelle Zahl. Man stelle sich dazu eine Zahl vor und behaupte von ihr, sie sei auf jeden Fall größer als jede noch so große reelle Zahl, die jemand nennen könne. Siehe dazu auch das Tutorial über --> das Unendliche.

Wo hört das Endliche auf und beginnt das Unendliche?

Dieser Übergang ist nicht angebbar. Nimmt man an, es gäbe eine „letzte” und damit größte finite (zum Beispiel reelle) Zahl, dann ist man immer in der Lage, eine noch größere anzugeben, zum Beispiel die um eins größere. Diese ist aber ebenfalls finit.
Genausowenig kann man die kleinste infinite Zahl angeben, denn auch die Behauptung, eine Zahl Γ sei die kleinste infinite Zahl, kann sofort mit der Zahl Γ−1 widerlegt werden.

Es gibt verschiedene Grade von Unendlich. Wie kommt es dazu?

Innerhalb der hyperreellen Zahlen kann man alle Grundrechenarten ausführen. Das bedeutet, dass man eine infinite Zahl auch mit einer anderen infiniten Zahl multiplizieren kann, selbstverständlich auch mit sich selbst. Dann geschieht dasselbe, als wenn man zum Beispiel die finite Zahl 7 mit einer (positiv) infiniten Zahl Γ multipliziert. Das Produkt 7⋅Γ liegt bezüglich 7 im (positiv) Infiniten.
Multipliziert man nun die infinite Zahl Γ mit der (ebenfalls positiv) infiniten Zahl Δ, dann liegt das Produkt Γ⋅Δ bezüglich Γ infinit weit weg. Bezüglich der finiten Zahl 7 und im Vergleich zur „einfach infiniten” Zahl Γ ist Γ⋅Δ „doppel infinit”.
Bei negativ infiniten Zahlen sind zusätzlich die Vorzeichenregeln zu beachten.

Kann man beim Begriff „unendlich klein” zwei Dinge miteinander verwechseln?

Ja, das ist möglich, wenn man nicht klar auf die Sprache und den Zusammenhang achtet. Normalerweise ist eine Zahl umso kleiner, je weiter links sie auf der Zahlengeraden liegt. Dann kann man mit „unendlich klein” an eine negativ infinite Zahl denken.
Infinitesimale Zahlen liegen unendlich dicht bei der Null, sie besitzen also einen „unendlich kleinen Betrag”.
Um Missverständnisse zu vermeiden, sollte man also immer vom Betrag sprechen. Infinite Zahlen, ob positiv oder negativ, besitzen also einen unendlich großen Betrag, und infinitesimale Zahlen besitzen, unabhängig vom Vorzeichen, einen unendlich kleinen Betrag.