FAQ - Frequently Asked Questions

Allgemeines zur Nichtstandard-Analysis gegenüber der Standard-Analysis

Worin besteht eigentlich der wesentliche Unterschied zwischen Standard- und Nichtstandard-Analysis?

Die Regeln und auch der Kalkül (z.B. die oft sogenannte "h-Methode") sind gleich, aber die Begründungen unterscheiden sich. Um zum Beispiel die Steigung eines Funktionsgraphen zu berechnen, wird aus den Koordinaten zweier Punkte des Graphen der übliche Quotiententerm für die Steigung gebildet. Bei gekrümmten Graphen weicht die so berechnete Steigung von der gesuchten ab. Die Frage ist dann, wie groß diese Abweichung ist.

Bei der herkömmlichen (reellen) Analysis ist dieser Fehler nicht tolerierbar, denn die Abweichung hat die Größenordnung einer reellen Zahl. Um diesen Fehler zu beseitigen, wurde der Grenzwertformalismus entwickelt. Dazu ließ man gedanklich den zweiten Punkt nach einer Gesetzmäßigkeit auf den ersten zulaufen, damit man die zugehörigen Steigungen nummerieren kann. Es entsteht eine Folge von Steigungen. Nun ist nachzuweisen, dass für jede vorgegebene Abweichung unendlich viele Steigungen dieser Folge näher an der gesuchten Steigung sind. Diese muss man aber vorher kennen, um sie mit diesem Verfahren als die richtige nachzuweisen. Zudem ist dieser Nachweis nicht nur für eine bestimmte Folge von Steigungen zu führen, sondern für jede denkbare Folge mit dem zu beweisenden Grenzwert. Dieses Vorgehen ist sehr abstrakt und für Lernende schwer verständlich. Hinzu kommt, dass sich jede Folge von Steigungen aus je einer Folge von x- und von y-Werten zusammensetzt, was das Verfahren zusätzlich kompliziert.

Bei der neuen Nichtstandardanalysis wird von vornherein der Abstand der benachbarten Kurvenpunkte als infinitesimal angenommen, also betragsmäßig kleiner als jede reelle Zahl. Damit weicht auch die berechnete Steigung nur infinitesimal von der gesuchten ab, die man zudem vorher gar nicht kennen muss. Alle infinitesimal benachbarten (hyperreellen) Steigungen besitzen denselben reellen Teil. Dieser ist die gesuchte Steigung. Diese wird also direkt errechnet. Das Verfahren ist somit produktiv. Die untersuchte Funktion ist zuvor gedanklich ins Hyperreelle zu erweitern.

Wenn man zuerst Nichtstandard-Analysis gelernt hat, versteht man dann auch Standard-Analysis?

Das ist überhaupt kein Problem: Da die Rechenregeln für den Reellen Teil (RT) völlig analog zu den Rechenregeln für den Grenzwert von Funktionen sind, lassen sich die Herleitungen bzw. Beweise in der Regel direkt übersetzen.
Darüber hinaus unterscheiden sich Standard- und Nichtstandard-Analysis nicht.