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Beispiele zur Analysis mit hyperreellen Zahlen

Integralrechnung

Inhalt der Fläche unter dem Graphen der Quadratfunktion mit f(x) = x2 zwischen den Grenzen a = 0 und b = 4
Zunächst ist die Funktion f hyperreell erweitert zu denken. Das Intervall [0; 4] werde dann in N, das heißt infinit viele Abschnitte der Länge dx unterteilt. N ist eine hypernatürliche Zahl. Es gilt also dx = 4⁄N, und es entstehen die Teilungsstellen x i mit x i = i ⋅ dx, wobei i alle (hyper-)natürlichen Zahlen von 1 bis N durchlaufen soll. Es entstehen Rechtecke mit dem Flächeninhalt A i = f(i ⋅ dx) ⋅ dx = (i ⋅ dx)2 ⋅ dx, die man berechnen und aufsummieren kann. Man erhält
mit i von 1 bis N: ∑A_i = ∑(i ⋅ dx)^2 ⋅ dx = (dx)^3 ⋅ ∑i^2.
Für die Summe kann man einen einfacheren Ausdruck zum Beispiel aus einer Formelsammlung gewinnen und schreibt mit dx = 4⁄N
mit i von 1 bis N: ∑A_i = [4^3 ⁄ N^3] ⋅ [(N^3 ⁄3) + (N^2 ⁄2) + (N⁄6)],
was ausmultipliziert
mit i von 1 bis N: ∑A_i = 4^3 ⋅ [1⁄3 + 1⁄(2N) + 1⁄(6N^2)]
ergibt. Die beiden letzten Summanden in der Klammer sind infinitesimal und somit im Reellen unbedeutend. Man erhält als reellen Teil den gesuchten Flächeninhalt unter der Parabel:
mit i von 1 bis N: A = RT(∑A_i) = 4^3 ⁄3 = 64⁄3.

Integralfunktion zur Kubikfunktion k mit k(x) = x3
Der Einfachheit halber liege die untere Grenze bei a = 0, die obere Grenze sei variabel mit der Bezeichnung b. Dann ist zu berechnen
∫_0^b k(x) dx.
Das Intervall [0 ; b] werde in infinit viele Abschnitte zerlegt, die hypernatürliche Anzahl sei Ν. Die Länge jedes Intervalls ist dann dx = b⁄Ν. Die Unterteilungspunkte sind x0 = 0,..., xi = i⋅dx,..., xΝ = b. Somit lässt sich die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit rechteckigen Streifen der Breite dx überdecken, die jeweilige Höhe beträgt k(xi). Damit berechnet sich der Flächeninhalt des i-ten Streifens zu Fi = (i⋅dx)3 ⋅ dx, und für die Summe aller Streifeninhalte erhält man dann
F = ∑_(i=1)^Ν (i⋅dx)^3 ⋅ dx = (dx)^4 ⋅ ∑_(i=1)^N i^3.
Die Summe der ersten Ν dritten Potenzen natürlicher Zahlen kann in anderer Form geschrieben werden, was man zum Beispiel in einer Formelsammlung finden kann. Es gilt – auch für hypernatürliche Ν –
∑_(i=1)^N i^3 = 1⁄4 ⋅ (Ν^4 + 2Ν^3 + Ν^2),
also erhält man
F = (dx)^4 ⋅ 1⁄4 (Ν^4 + 2Ν^3 + Ν^2) = 1⁄4 b^4 + 1⁄2 b^3 dx + 1⁄4 b^2 (dx)^2,
wovon der reelle Teil zu bilden ist. Man erhält als Integralfunktion
K(b) = ∫_0^b k(x)⋅dx = RT[1⁄4 b^4 + 1⁄2 b^3 dx + 1⁄4 b^2 (dx)^2] = 1⁄4 b^4.
Die Variable b diente nur der Unterscheidung der variablen oberen Grenze von der eigentlichen Variablen x. Die gesuchte Integralfunktion lautet also
K(x) = 1⁄4 x^4.

Regel für die partielle Integration
Es gilt die Produktregel der Differentialrechnung, (u⋅v)' = u⋅v' + v⋅u'. In Differentialen ausgedrückt d(u⋅v) = u⋅dv + v⋅du. Die Integration ergibt
u⋅v = ∫d(u⋅v) = ∫u⋅dv + ∫v⋅du
oder, umgestellt,
∫u⋅dv = u⋅v − ∫v⋅du.