Beispiele zur Analysis mit hyperreellen Zahlen

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Dieser zentrale Satz der Analysis zeigt, dass Differenzieren und Integrieren gegensätzliche Operationen bei Funktionen sind, und besteht aus zwei Teilen.

1. „Differenzieren”: Ist f eine reelle Funktion und F_a eine zugehörige Integralfunktion, dann ist die Ableitung F_a' die Integrandenfunktion.
   Denn:
   Es sei
   
   die zu f gehörige Integralfunktion zur unteren Grenze a. Verschiebt man die obere Grenze des Integrals um ein infinitesimales h, dann verändert sich das Integral um
   .
   Es handelt sich also um den Flächeninhalt eines infinitesimalen Streifens der Breite h unter dem Graphen der ins Hyperreelle erweiterten Funktion *f. Da sich alle Funktionswerte wegen deren gleichmäßiger Stetigkeit von *f nur infinitesimal unterscheiden, kann sich dieser Flächeninhalt gegenüber dem Rechtecksinhalt f(x)⋅h höchstens um den Inhalt eines Rechtecks mit Breite h und nicht negativer infinitesimaler Höhe λ unterscheiden.
   
   Division durch h ergibt je nach Vorzeichen von h
   
   oder
   .
   Der Übergang zum reellen Teil ergibt in beiden Fällen
   .
   Es gilt also tatsächlich F_a' = f
2. „Integrieren”: Ist F eine beliebige Stammfunktion von f, dann gilt
   .
   Denn:
   Die Funktion F_a sei eine spezielle Stammfunktion von f. Sie hat die Eigenschaft
   
   und erfüllt wegen
   
   die Behauptung. Weil jede Stammfunktion F genau wie F_a als Ableitung dieselbe Funktion f besitzt, können sich F und F_a nur um eine konstante Funktion C unterscheiden, F_a = F + C, denn nur konstante Funktionen fallen beim Differenzieren fort: C'(x) = 0. Damit hat es auf Differenzen keinen Einfluss. Wegen C(b)−C(a) = 0 gilt dann
   F(b)−F(a) = (F_a+C)(b)−(F_a+C)(a) = (F_a(b)+C(b))−(F_a(a)+C(a)) = F(b)−F(a),
   also
   .