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Beispiele zur Analysis mit hyperreellen Zahlen

Differentialrechnung

Steigung des Graphen der Funktion f mit f(x)=x3 im Punkt P(2;8)
Die reelle Funktion f werde zunächst ins Hyperreelle erweitert. Auf dem Graphen liegt zum Punkt P(2;8) der Punkt Q(2+α;(2+α)3) infinitesimal benachbart, denn α sei infinitesimal. Dann erhält man für die Steigung zwischen P und Q
m = ((2+α)^3 - 2^3)⁄((2+α) - 2) = (8+12α+6α^2+α^3 - 8)⁄α = 12+6α+α^2.
Der reelle Teil davon ist die gesuchte Steigung des Graphen bzw. die Ableitung der Funktion f an der Stelle x=2:
f'(2) = RT(m) = RT(12+6α+α^2) = 12 .

Ableitung der Quadratfunktion
Auf dem Graphen der (hyperreell erweiterten) Funktion f mit f(x)=x2 sei der Punkt P(x;x2) beliebig angenommen. Im infinitesimalen x-Abstand davon liege der Punkt Q(x+α;(x+α)2), denn α sei infinitesimal. Für die Steigung zwischen P und Q erhält man dann
m = (f(x+α)-f(x))⁄((x+α)-x) = ((x+α)^2 - x^2)⁄α = ((x^2+2xα+α^2) -x^2)⁄α = 2x+α.
Der reelle Teil davon ist die gesuchte Ableitung f' der Funktion f:
f'(x) = RT(m) = RT(2x+α) = 2x.

Summenregel der Differentialrechnung
Es seien f und g zwei differenzierbare Funktionen mit den Ableitungen f' bzw. g'. Dann erält man die Ableitung der Summenfunktion f+g mit (f+g)(x) = f(x) + g(x) folgendermaßen:
(f+g)'(x) = RT{ [ (f+g)(x+α) - (f+g)(x) ] ⁄ [ (x+α)-x ] }
= RT{ [ f(x+α)+g(x+α) - ( f(x)+g(x) ) ] ⁄ α }
= RT{ [ f(x+α)-f(x) ]⁄α + [ g(x+α)-g(x) ]⁄α }
= RT{ [ f(x+α)-f(x) ]⁄α } + RT{ [ g(x+α)-g(x) ]⁄α }
= f'(x) + g'(x).

Potenzregel der Differentialrechnung
Die Potenzfunktion pn mit pn(x) = xn mit n > 1, n ∈ ℕ ist differenzierbar. Man erhält für die Steigung zwischen zwei infinitesimal benachbarten Punkten P(x ; xn) und Q(x+α ; (x+α)n)
m = [(x+α)^n - x^n]⁄[(x+α) - x]
= [x^n + n⋅x^(n−1)⋅α + (Summanden mit mindestens α^2) − x^n]⁄[α]
= n⋅x^(n−1) + (Summanden mit mindestens α).
Der reelle Teil davon ist die Ableitung der Funktion:
p_n'(x) = RT[n⋅x^(n-1) + (Summanden mit mindestens α)] = n⋅x^(n-1).

Produktregel der Differentialrechnung
Sei die Funktion f das Produkt zweier differenzierbarer Funktionen u und v, also
f(x) = y = (u ⋅ v)(x) = u(x) ⋅ v(x).
Verändert man x um ein infinitesimales dx, dann ändern sich u um du und v um dv, wobei wegen der Differenzierbarkeit der beiden Faktorfunktionen du und dv jeweils infinitesimal sind. Für die Änderung dy des Produkts erhält man dann
dy = (u + du)⋅(v + dv) − u⋅v = u⋅v + u⋅dv + du⋅v + du⋅dv − u⋅v
und schließlich den Differentailquotienten
(dy)⁄(dx) = u ⋅ (dv)⁄(dx) + (du)⁄(dx) ⋅ v + (du) ⋅ (dv)⁄(dx).
Der reelle Teil davon ist die Ableitung der Produktfunktion:
(u⋅v)'(x) = RT[(dy)⁄(dx)] = (u)⋅RT[(dv)⁄(dx)] + RT[(du)⁄(dx)]⋅(v) + RT[(du)⋅(dv)⁄(dx)]
= u(x)⋅v'(x) + u'(x)⋅v(x) + 0,
denn der letzte Summand ist infinitesimal.

Kettenregel der Differentialrechnung
Gegeben sei die Verkettung f2 ○ f1 zweier differenzierbarer, also stetiger Funktionen f1 und f2 und es gelte (f2 ○ f1)(x) = f2(f1(x)) := f(x). Die Funktion f1 bildet also ein vorgegebenes x auf einen Zwischenwert z ab, der sofort von f2 zu y weiterverarbeitet wird.
Verändert man nun x um ein infinitesimales h, so ändert die stetige Funktion f1 das Bild z um ein ebenfalls infinitesimals k, wobei auch k = 0 auftreten kann. Dabei gilt f_1'(x) = RT(k⁄h).
Die Funktion f2 verarbeitet den Zwischenwert z weiter zu y. Eine Veränderung von z um ein infinitesimales k bewirkt hier eine infinitesimale Veränderung von y um v. Es gilt entsprechend f_2'(z) = RT(v⁄k). Gesucht ist f'(x) = RT(v⁄h).
  1. Fall: k ≠ 0. In diesem Fall kann man den Bruch v⁄h mit dem infinitesimalen k erweitern und erhält
    f'(x) = RT(v⁄h) = RT(v⁄k ⋅ k⁄h) = RT(v⁄k) ⋅ RT(k⁄h) = f_2'(z) ⋅ f_1'(x) = f_2'(f_1(x)) ⋅ f_1'(x).
  2. Fall: k = 0. Hier ändert sich f1(x) bei infinitesimaler Änderung von x nicht, also bleibt auch f2(z) unverändert. Daher sind die beiden Quotienten k⁄h und v⁄h null, was sogar deren reelle Teile sind. Also gilt auch f1'(x) = 0 und f'(x) = 0 und die Ableitung der Verkettung ist in der Form 0 = f'(x) = f2'(f1(x)) ⋅ 0 dieselbe wie im 1. Fall.